Este artículo presenta un análisis de la investigación educativa en el campo de la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas (actividad conocida en los países anglosajones como investigación en Educación Matemática y en otros países europeos como investigación en Didáctica de las Matemáticas); se revisa la especificidad de la actividad, su relación con otras áreas del conocimiento y el debate mundial en torno a su estatuto científico. Concluye el artículo con la revisión de los grupos, tendencias y actividades de la Educación Matemática en México. La reflexión puede ser útil para valorar los desarrollos relativos en otras áreas temáticas de la investigación educativa.
 
 

This article makes an analysis of educational research in the field of teaching and learning mathematics (activity known, in English speaking countries, as research in Mathematical Education and, in other European countries, as research in Didactics of Mathematics).The specificity of the activity, its relation to other areas of learning, and the world debate about the scientific statute are studied. The article concludes with a revision of the groups, tendencies and activities of Mathematical Education in México. The reflection may be useful for evaluating related developments in other thematical areas of educational research.
 
 

1. La Educación Matemática como campo de investigación

Cuando pensamos en la matemática, no como el espléndido edificio teórico construido a lo largo de los siglos con la participación de los grandes matemáticos como Euclides, Arquímedes, Descartes, Newton, Leibniz, Euler, Gauss, Cauchy, Riemann, Weierstrass, Dedekind, Cantor, Hilbert y tantos otros más, sino como la actividad humana cuyo resultado es precisamente este gran edificio teórico, si la pensamos así, entonces tiene sentido plantear la disyuntiva que da título al presente escrito: la matemática como una actividad científica y la matemática como una empresa educativa. Siendo todavía más finos, diríamos que la matemática como empresa educativa presenta a su vez dos facetas: la matemática vinculada a la actividad de enseñar y la matemática asociada a la tarea de aprender.

Vista así, la matemática efectivamente presenta características diferentes. En primer lugar, los actores y sus propósitos en cada uno de los casos son distintos:
 

	Si consideramos a la matemática como el objeto de estudio del matemático profesional, la actividad tiene el propósito de hacer crecer el edificio teórico dentro de ciertas normas de coherencia, y presentarlo, si ese fuese el caso, para modelar el mundo físico.
	Si la matemática es el objeto de enseñanza del profesor, la intención de sus acciones consiste en hacer partícipe a las nuevas generaciones de una parte, previamente seleccionada, del edificio teórico, eligiendo para ello los medios y procedimientos adecuados.
	Cuando la matemática es el objeto de aprendizaje del estudiante, la meta es construir activamente un significado propio para ciertas partes de este edificio que le permitan, en un momento dado, utilizarlo de manera adecuada en su formación y en su vida profesional.

 
 

Cada uno de estos quehaceres es radicalmente distinto de los otros: la materia prima con la que se trabaja es diferente, así como la preparación y las habilidades requeridas en cada caso, las normas de proceder y de validar son distintas, tanto como los mecanismos de comunicación entre los actores respectivos y los resultados esperados.

Dicho de esta forma, la aseveración anterior parecería obvia, sin embargo, nos ha llevado varios siglos el poder formularla así, para entonces estudiar sus consecuencias de manera adecuada. El camino que nos ha permitido esta primera distinción tiene que ver con una cuarta actividad que surge de considerar las diferencias entre estos tres quehaceres: la Educación Matemática. Es sobre esta cuarta actividad y sus características que centraré mis comentarios.

A muchos de los lectores de seguro les parecerá exagerado, o al menos prematuro, hablar de la investigación en Educación Matemática como si fuera una disciplina científica, tal y como se sugiere en el título de este artículo. Coincido con este punto de vista; sin embargo, me gustaría señalar algunos síntomas que preludian este carácter de la Educación Matemática.

Al menos en el sentido sociológico del término, la Educación Matemática existe como una disciplina: cuenta con una comunidad internacional vigorosa que ha sabido abrirse espacios propios para comunicarse al interior de ella misma y para difundir sus resultados al exterior; se agrupa en asociaciones, organiza reuniones periódicas regulares (congresos, coloquios, jornadas, encuentros), cuenta con publicaciones especializadas para someter sus resultados a la crítica -y cuyas reglas de operación no difieren de las de otras organizaciones científicas (selección de trabajos, revisiones, arbitrajes, etc.)-; utiliza canales diversos para vulgarizar sus hallazgos; ha desarrollado programas de formación (capacitación y posgrado) para sus miembros, etc. La organización de los educadores de las matemáticas no es, como se ve, diferente a la de otras comunidades científicas.

Desde el punto de vista conceptual, la Educación Matemática, en principio, pretende construir explicaciones teóricas, globales y coherentes que permitan entender el fenómeno educativo en lo general y que, al mismo tiempo, ayuden a resolver satisfactoriamente situaciones problemáticas particulares. Para lograr esto debe adaptar y desarrollar métodos de estudio y de investigación, así como encontrar formas propias de contrastar los resultados teóricos con la realidad que éstos pretenden modelar. La Educación Matemática no diferiría, en este sentido, de otras actividades científicas ni en sus propósitos ni en sus métodos y tendería a parecerse más a las ciencias empíricas que a las disciplinas especulativas.

Pero ciertamente es una rama joven del saber: comparada con otras ciencias, como la matemática o la física que tienen siglos de desarrollo, la Educación Matemática está en su primera infancia; pero aun es joven si se le compara con otras disciplinas más recientes como la psicología; esta última le lleva alrededor de un siglo de ventaja. A causa de esta juventud, el sistema de objetivos, metodologías y criterios para validar el conocimiento de la Educación Matemática, presenta todavía excesiva variabilidad y poco consenso. Adicionalmente, el papel que juega con respecto a las otras ciencias "establecidas" está todavía en discusión.

No obstante, la Educación Matemática, al cabo del tiempo, ha ido adquiriendo especificidad y, en buena medida, conciencia de sí misma. Las últimas tres décadas han visto crecer y consolidarse grupos en todo el mundo dedicados a la investigación de los problemas asociados a la enseñanza y al aprendizaje de las matemáticas, así como al desarrollo de productos de "aplicación" de los resultados de las investigaciones que permiten coadyuvar en la solución de estos problemas. Las asociaciones profesionales, las reuniones periódicas, los congresos y otros eventos, así como la edición de libros y revistas especializados aumentan día con día como una muestra del dinamismo del campo. Conforme ha avanzado el tiempo, los temas de discusión de estas manifestaciones comunitarias se han ido modificando, pasando de la mera exposición de resultados de estudios descriptivos a la consideración y, en ocasiones, confrontación de paradigmas, metodologías, nuevos acercamientos y marcos teóricos que deben dar a la Educación Matemática las características de una disciplina que se desarrolla por los caminos de la "ciencia normal" en la búsqueda de su propia identidad.

Buena parte de estos intentos de establecer la identidad de la disciplina están encaminados a señalar los rasgos que la distinguen de aquéllas que contribuyen y alimentan sus estudios: la pedagogía, la psicología, la lingüística, la sociología, las ciencias de la comunicación, las ciencias cognitivas, la informática y, desde luego, la matemática. La Educación Matemática se reconoce como receptora de una gran cantidad de resultados provenientes de todas estas ramas del conocimiento; claramente, es un campo de experimentación para poner a prueba muchas de las teorías generales que surgen del estudio de las otras ciencias –recordamos cómo, durante los años setenta, las teorías del aprendizaje provenientes de la psicología conductista (behavorista) marcaron la línea de desarrollo de muchos trabajos de investigación en Educación Matemática, o cómo el acercamiento estructuralista en matemáticas dejó una fuerte huella en los salones de clase de la década de los sesenta.

Si bien una tarea de autoafirmación de la disciplina consiste en señalar lo que la hace diferente de las demás, en aras de definir una identidad propia, también debe especificar, de manera precisa, cuáles son las relaciones que, por su naturaleza, está obligada a desarrollar con las otras disciplinas.

El término Educación Matemática recuerda continuamente que estamos tratando con una disciplina que, de suyo, tiene un pie puesto en el terreno de la educación y el otro en el de la matemática. Esto, que parece una verdad de perogrullo, en realidad es lo que le da sentido a la actividad y como las cosas básicas de la vida, resulta tan obvio que hay que recordarlo de vez en cuando para tenerlo presente siempre.

¿Qué quiere decir que la Educación Matemática esté simultáneamente asentada en la educación y en las matemáticas, dos campos de estudio aparentemente ajenos e independientes? En términos de la propia actividad, lo anterior quiere decir que las preguntas (preguntas de investigación) que plantea el educador de las matemáticas acerca de la educación están, por naturaleza, siempre preñadas de contenidos matemáticos, y que las preguntas que elabora sobre la matemática contienen, de manera inherente, un interés educativo. Esta característica hace a los educadores de la matemática distintos a los matemáticos y a los educadores, al tiempo que los habilita como interlocutores de ambos.

Las dificultades que entraña el proceso de "cientifización" de la Educación Matemática pueden apreciarse en el quehacer mismo de los educadores de la matemática, pero sobretodo, en las discusiones y reflexiones, formales e informales, que tienen lugar en el seno de esta comunidad. En lo que sigue revisaremos algunos de los principales programas de investigación en Educación Matemática en donde, de manera más o menos clara, ha surgido la discusión sobre el carácter científico de la disciplina.
 
 

2. Principales programas de investigación en Educación Matemática

En esta sección revisaremos con mayor detalle el "estado de la cuestión" sobre la discusión del estatuto científico de la Educación Matemática entre los grupos más significativos del mundo, centrándonos en la actividad desarrollada por grandes núcleos de investigadores, en particular, los grupos Theory of Mathematics Education (TME), Psychology of Mathematics Education(PME) y la Escuela Francesa de Didáctica de las Matemáticas.
 
 

2.1 El programa de investigación del Grupo TME
 
 

En el V Congreso Internacional de Educación Matemática (ICME) de 1984, un grupo de investigadores preocupados por darle solidez a la disciplina, convocaron a la formación de un área temática con el nombre de "Teoría de la Educación Matemática" a la que dedicaron cuatro sesiones. Finalizando el Congreso se celebraron nuevas reuniones en las que quedó constituido el grupo de trabajo internacional Theory of Matematics Education (TME), encabezado por el profesor Hans-Georg Steiner del Institut für Didaktik der Mathematik (IDM) de la Universidad de Beilefeld (Alemania).

Las reuniones del grupo TME que se celebraron posteriormente mostraron que existe una comunidad interesada por constituir las bases teóricas de la Educación Matemática, integrada por investigadores con formación e intereses en campos diversificados: investigadores en Educación Matemática, matemáticos, profesores de matemáticas, psicólogos educativos, sociólogos educativos, formadores de profesores, etc. En la configuración de esta comunidad científica, existen intereses profesionales que han propiciado una orientación académica a esta actividad. La tendencia a academizar la Educación Matemática podía, en la opinión de los miembros del grupo TME, forzar esta disciplina hacia un dominio de especulación científica relativamente desconectado de la realidad social. Steiner (1985), al analizar el papel de la Educación Matemática dentro de la universidad, propuso una función de vínculo entre las matemáticas y la sociedad:
 
 

Esto es posible y necesario especialmente por medio de su contribución a la elaboración y actualización de muchas dimensiones olvidadas de las matemáticas: las dimensiones filosófica, histórica, humana, social y, comprendiendo a todas, la dimensión didáctica (Steiner, 1985: 12).
 
 

Podemos hacer una primera aproximación al núcleo conceptual de la Educación Matemática como disciplina científica, analizando las cuestiones planteadas en el seno del grupo TME que, dado su carácter abierto, reunió en las sucesivas conferencias a la mayoría de los investigadores en Educación Matemática interesados por el fundamento teórico de su actividad. De acuerdo con el programa de desarrollo trazado en la primera reunión (Steiner et al., 1984), la "Teoría de la Educación Matemática" se debía ocupar de su situación actual y de las perspectivas para su desarrollo futuro como un campo académico y como un dominio de interacción entre la investigación, el desarrollo y la práctica. En este programa se distinguían tres componentes interrelacionados:
 
 

1. La identificación y formulación de los "problemas básicos" en la orientación, fundamento, metodología y organización de la Educación Matemática como disciplina, tales como:

	La existencia de distintas definiciones, incluso discrepantes, de la Educación Matemática
	El uso de modelos, paradigmas, teorías y métodos en la investigación y de herramientas apropiadas para el análisis de sus resultados
	El papel que deben jugar los "macro–modelos", esto es, marcos de referencia generales que relacionan significativamente los múltiples aspectos de la Educación Matemática, y los "micro–modelos", que proporcionan información detallada sobre áreas restringidas del aprendizaje matemático
	El debate entre "teorías específicas" frente a la interdisciplinariedad y la transdisciplinariedad
	La relación entre la Educación Matemática y sus campos referenciales como la matemática, la pedagogía, la psicología, la sociología, la epistemología, etc.
	Las relaciones entre teoría, desarrollo y práctica: las tareas integradoras y sintéticas de la Educación Matemática frente a las tendencias recientes hacia una ciencia normal y la creciente especialización
	Los aspectos axiológicos, éticos, sociales y políticos de la Educación Matemática

 
 

2. El desarrollo de una aproximación comprensiva a la Educación Matemática, que debe ser vista en su totalidad como un sistema interactivo que comprende investigación, desarrollo y práctica. Esto lleva a destacar la importancia de la teoría de sistemas, especialmente de las teorías de los sistemas sociales, basadas en conceptos como interacción social, actividad cooperativa humana, diferenciación, subsistemas, autorreproducción y sistemas auto-organizados, autorreferencia y reflexión en sistemas sociales, etc. Asimismo, interesa la identificación y el estudio de las múltiples interdependencias y mutuos condicionantes en la Educación Matemática, incluyendo el análisis de las complementariedades fundamentales.
3. La organización de la investigación sobre la propia Educación Matemática como disciplina que, por una parte, proporcione información y datos sobre la situación, los problemas y las necesidades de la misma, teniendo en cuenta las diferencias nacionales y regionales y que, por otra, contribuya al desarrollo de un metaconocimiento y una actitud autorreflexiva como base para el establecimiento y la relación de los programas de desarrollo del TME.

 
 

La segunda reunión del grupo TME, celebrada en 1985 en el Institut für Didaktik der Mathematik (IDM) de la Universidad de Bielefeld (Steiner, Vermandel, 1988), se centró en el tema genérico "Fundamento y metodología de la disciplina Educación Matemática" y, por tanto, la mayoría de las contribuciones resaltaron el papel de "la teoría y la teorización" en dominios particulares. Los grupos de trabajo se dedicaron a los diferentes dominios de la investigación con el fin de analizar el uso de modelos, métodos, teorías, paradigmas, etc.

Si bien los temas tratados en las conferencias TME fueron de interés para distintos aspectos de la Educación Matemática, no es fácil apreciar en ellos un avance en la configuración de una disciplina académica, es decir, una teoría de carácter fundamental que establezca los cimientos de una nueva ciencia por medio de la formulación de conceptos básicos y postulados elementales. Se encontraron muchos resultados parciales, apoyados en supuestos teóricos externos (tomados de otras disciplinas) que trataron de orientar la acción en el aula, sin embargo, los progresos fueron escasos. El grupo TME, aunque continuó sus reuniones anuales durante varios años más, actualmente ha dejado de tener influencia y ha interrumpido sus actividades periódicas, en parte quizás por el retiro laboral de su principal promotor, Hans-Georg Steiner.
 
 

2.2 El enfoque psicológico en la Educación Matemática: el grupo PME
 
 

En la comunidad internacional de investigadores en Educación Matemática se aprecia una fuerte presión de la perspectiva psicológica en el estudio de los procesos de enseñanza y aprendizaje matemático. El predominio del enfoque psicológico no ha tenido en cuenta el necesario equilibrio y principio de complementariedad entre las disciplinas fundacionales de la Educación Matemática que señalan numerosos autores. Este predominio se manifiesta si se observa la vitalidad del grupo Psychology of Matematics Education (PME), constituido en el Segundo Congreso Internacional de Educación Matemática (ICME-66) y que celebra, en 1998, su 22a. emisión anual.

Las cuestiones esenciales para la Educación Matemática que pueden ser resueltas mediante una aproximación psicológica son, según Vergnaud (1988), las siguientes:

	El análisis de la conducta de los estudiantes, de sus representaciones y de los fenómenos inconscientes que tienen lugar en sus mentes.
	Las conductas, representaciones y fenómenos inconscientes de los profesores, padres y demás participantes.

De modo especial, Vergnaud analiza cuatro tipos de fenómenos cuyo estudio puede ser fecundo desde una aproximación psicológica:

	La organización jerárquica de las competencias y concepciones de los estudiantes
	La evolución, a corto plazo, de las concepciones y competencias en el aula
	Las interacciones sociales y los fenómenos inconscientes
	La identificación de "teoremas en acto", esquemas y símbolos

Sin embargo, el análisis de las memorias de las reuniones anuales del grupo PME revela que los informes de investigación aceptados incluyen tanto investigaciones empíricas como teóricas y que cubren ámbitos no estrictamente psicológicos. No es posible detallar, por su amplitud, los temas tratados en las distintas reuniones del PME, pero puede ser de interés leer la clasificación de los informes de investigación que se presentan en la última reunión de este grupo (Sudáfrica, julio de 1998):

	La demostración
	Resolución de problemas
	Formación y desarrollo del maestro
	Aprendizaje matemático temprano
	Geometría
	Factores afectivos y creencias
	Álgebra
	Pensamiento matemático avanzado y funciones
	Estudios socioculturales
	Números racionales y estocásticos
	La evaluación y el conocimiento del maestro sobre el pensamiento del estudiante

 
 

Como afirma Balacheff (1990), más allá de la problemática psicológica inicial del grupo PME, el debate sobre la investigación puso de manifiesto la necesidad de tener en cuenta nuevos aspectos:
 

La especificidad del conocimiento matemático. La investigación sobre el aprendizaje del álgebra, la geometría o el cálculo no se puede desarrollar sin un análisis epistemológico profundo de los conceptos matemáticos. También se reconoce que el significado de estos conceptos se apoya no sólo en su definición formal sino, de modo fundamental, en los procesos implicados en su funcionamiento. Por esta razón se pone más énfasis en el estudio de los "procesos cognitivos de los estudiantes" que en el de sus destrezas o producciones.

La dimensión social. Tanto el estatuto social del conocimiento que se debe aprender como el papel crucial de las interacciones sociales en el proceso de enseñanza requieren una consideración de la dimensión social en la investigación. Uno de los principales pasos en el desarrollo de la investigación en la psicología de la Educación Matemática fue el desplazamiento desde los estudios centrados en el niño (o el adolescente) hacia los estudios centrados en el estudiante como aprendiz en la clase. El estudiante es un niño (o un adolescente) implicado en los procesos de aprendizaje dentro de un entorno específico en el que las interacciones sociales con otros estudiantes y con el profesor juegan un papel crucial. Con esta evolución de la problemática se deben desarrollar más investigaciones que utilicen observaciones sistemáticas de la clase o que precisen de la organización de procesos didácticos específicos. Tal investigación requiere nuevos útiles teóricos y metodológicos para producir resultados que sean sólidos tanto teóricamente como por su significado para propósitos prácticos.

 
 

Posiblemente esta apertura del campo de interés del PME llevó a Fischbein (1990) a afirmar que la psicología de la Educación Matemática tiende a convertirse en el paradigma de la Didáctica de la Matemática en general (como cuerpo de conocimiento científico). Además, atribuye a esta línea de trabajo una entidad específica dentro de las áreas del conocimiento, al considerar que la adopción de cuestiones, conceptos, teorías y metodologías del campo de la psicología general no han dado los frutos esperados. La explicación que sugiere Fischbein es que la psicología no es una disciplina deductiva y, por tanto, la mera aplicación de los principios generales a un dominio particular no conduce usualmente a descubrimientos significativos. Incluso aquellos dominios de la psicología fuertemente relacionados con la Educación Matemática (como los estudios sobre resolución de problemas, la memoria, estrategias de razonamiento, creatividad, representación e imaginación) no pueden producir directamente sugerencias útiles y prácticas y no pueden representar por sí mismas la fuente principal de los problemas en este campo. Inclusive la teoría de los estadios de Piaget y sus descubrimientos sobre el desarrollo de conceptos matemáticos (número, espacio, azar, función, etc.) no pueden ser directamente trasladados en términos de currículo.

Esta observación no significa que la Educación Matemática debiera vivir y desarrollarse aisladamente, impermeable a influencias externas. Las coordenadas psicológicas y sociológicas son prerrequisitos necesarios para definir problemas, trazar proyectos de investigación e interpretar los datos. No obstante, estos prerrequisitos son, en sí mismos, totalmente insuficientes. La Educación Matemática –continúa Fischbein– plantea sus propios problemas psicológicos, que un psicólogo profesional no encuentra en su misma área. Por ejemplo, normalmente un psicólogo no se interesa por los tipos específicos de problemas de representación que aparecen en matemáticas, desde la representación gráfica de funciones y distintas claves de morfismos a la dinámica del simbolismo matemático. Es extraño que un psicólogo cognitivo se interese y trate los problemas planteados por la comprensión del infinito matemático con todas sus distintas facetas y dificultades. Con el fin de poder afrontar estos problemas se necesita un sistema particular de conceptos, además de los inspirados en la psicología, pero incluso los conceptos psicológicos usuales adquieren nuevo significado a la luz de la matemática y de la Educación Matemática.
 
 

3. La Escuela Francesa de Didáctica de las Matemáticas

Dentro de la comunidad de investigadores que desde diversas disciplinas se interesan por los problemas de la Educación Matemática se ha ido destacando en los últimos años -principalmente en Francia- un grupo que se esfuerza en una reflexión teórica sobre el objeto y los métodos de investigación específicos. Como fruto de este esfuerzo ha surgido una concepción llamada "fundamental" de la Didáctica de las Matemáticas que presenta caracteres diferenciales respecto a otros enfoques: concepción global de la enseñanza, estrechamente ligada a la matemática y a teorías específicas del aprendizaje, y búsqueda de paradigmas propios en una postura integradora entre los métodos cualitativos y los cuantitativos.

Como característica de esta línea puede citarse el interés por establecer un marco teórico original, desarrollando sus propios conceptos y métodos y considerando las situaciones de enseñanza y aprendizaje globalmente. Los modelos desarrollados comprenden las dimensiones epistemológica, social y cognitiva y tratan de tener en cuenta la complejidad de las interacciones entre el saber, los alumnos y el profesor dentro del contexto particular del aula. El estudio de las relaciones complejas entre enseñanza y aprendizaje, en aquellos aspectos específicos de la matemática, queda concretado por Laborde (1989) en estas dos preguntas:

1. ¿Cómo podemos caracterizar las condiciones que se deben implementar en la enseñanza para facilitar un aprendizaje que reúna ciertas características fijadas a priori?

2. ¿Qué elementos debe poseer la descripción de un proceso de enseñanza para asegurar que         pueda ser reproducido desde el punto de vista del aprendizaje que induce en los alumnos?

Un criterio básico que guía la investigación de estas cuestiones es la determinación del significado del conocimiento matemático que se desea, a priori, que construyan los alumnos y del que realmente alcanzan durante el proceso de enseñanza. Como afirma Laborde (1989), existe un amplio consenso sobre el requisito metodológico de utilizar la experimentación en una interacción dialéctica con la teoría. El paradigma experimental es concebido dentro de un marco teórico y las observaciones experimentales son comparadas con el marco, pudiendo ser modificado éste a la luz de la consistencia de los conceptos desarrollados y la exhaustividad con relación a los fenómenos relevantes.

Brousseau (1989: 3) define la concepción fundamental de la Didáctica de las Matemáticas como "una ciencia que se interesa por la producción y comunicación de los conocimientos matemáticos, en lo que esta producción y esta comunicación tienen de específicos", indicando como los objetos particulares de estudio:
 

	Las operaciones esenciales de la difusión de los conocimientos, las condiciones de esta difusión y las transformaciones que produce, tanto sobre los conocimientos como sobre sus usuarios.
	Las instrucciones y las actividades que tienen por objeto facilitar estas operaciones.

 
 

Los investigadores que comparten esta concepción de la Educación Matemática relacionan todos los aspectos de su actividad con la matemática. Se argumenta, para basar este enfoque, que el estudio de las transformaciones de las matemáticas, bien sea desde el punto de vista de la investigación o de la enseñanza, siempre ha formado parte de la actividad del matemático, de igual modo que la búsqueda de problemas y situaciones que requiera para su solución una noción matemática o un teorema.

Una característica importante de esta teoría, aunque no sea original ni exclusiva, es su consideración de los fenómenos de enseñanza y aprendizaje bajo el enfoque sistémico. Desde esta perspectiva, el funcionamiento global de un hecho didáctico no puede ser explicado por el estudio separado de cada uno de sus componentes, de la misma manera que ocurre con otros fenómenos sociales. Chevallard y Johsua (1982) describen el "sistema didáctico" en sentido estricto, formado esencialmente por tres subsistemas: "profesor", "alumno" y "saber enseñado". Además está el mundo exterior a la escuela, en el que se haya la sociedad en general, los padres, los matemáticos, etc. Pero entre los dos debe considerarse una zona intermedia, la "noosfera" que, integrada al anterior, constituye el sistema didáctico en sentido amplio y que es lugar, a la vez, de conflictos y transacciones por las que se realiza la articulación entre el sistema y su entorno. La noósfera es, por tanto, "la capa exterior que contiene todas las personas que en la sociedad piensan los contenidos y métodos de la enseñanza". Brousseau (1986) considera, además, como componente al "medio" que está formado por el subsistema sobre el cual actúa el alumno (materiales, juegos, situaciones didácticas, etc.).

La Escuela Francesa de Didáctica de las Matemáticas, a partir de una serie de constructos teóricos introducidos en los últimos años (como el de "situación didáctica", "contrato didáctico", "transposición de saberes", "ingeniería didáctica", "obstáculo didáctico", etc.), está en vías de constituir un núcleo duro de conceptos teóricos que sirva de soporte a un programa de investigación en el sentido de Lakatos. Su capacidad de plantear nuevos problemas de investigación y de enfocar los ya clásicos desde una nueva perspectiva, se pone de manifiesto a través de la producción científica de un colectivo de investigadores. Los conceptos introducidos por la Escuela Francesa se utilizan cada vez con mayor frecuencia como organizadores de las explicaciones producidas por otros grupos de investigación en todo el mundo.
 
 

4. La Educación Matemática en México

Para comprender mejor cómo se ha problematizado el estatuto de la Educación Matemática en México conviene revisar brevemente cuál ha sido su historia y su desarrollo desde los años setenta, fecha en la que se ubican oficialmente sus orígenes institucionales.

Si bien el arranque de la investigación en Educación Matemática en nuestro país se sitúa a finales de los setenta con la creación de la Sección de Matemática Educativa en el Centro de Investigación y Estudios Avanzados (Cinvestav), no es sino a partir de la década de los ochenta que se puede apreciar avances significativos en el campo, según los siguientes indicadores:
 

	Al menos 16 grupos de investigación consolidados laborando regularmente en diversas instituciones en todo el país
	Más de 300 egresados de programas de especialización o posgrado en investigación educativa
	5 publicaciones periódicas especializadas con más de 8 años de antigüedad y 3 más iniciando
	Organización y/o participación regular en diversos eventos nacionales e internacionales
	Intervención en asociaciones y sociedades de educadores de la matemática nacionales e internacionales
	Temáticas de investigación, metodologías y marcos de referencia, a la vez, diversificados y especializados

 
 

4.1 Las temáticas de investigación

En las temáticas abordadas en la investigación en México, los marcos de referencia dependen, en buena medida, del nivel escolar que se estudia –en general, cada grupo de investigación enfoca su atención hacia un nivel escolar determinado–. Por esta razón, y para apreciar mejor la dinámica del campo, una primera clasificación de los temas estudiados en nuestro país responde al nivel escolar que abordan, esto nos da tres grupos: (a) niveles básicos, (b) niveles medio superior y superior y (c) trabajos en los que el nivel escolar no es determinante. Resumimos a continuación los rasgos esenciales de estos tres grupos.
 
 

4.2 La investigación en los niveles básicos

Los trabajos enfocados al estudio de los niveles básicos de la educación se desarrollan esencialmente en cinco líneas que tienen que ver, sobre todo, con aspectos psicológicos, cognitivos y de desarrollo de los distintos actores del proceso educativo :
 

	Conocimientos, concepciones y habilidades del alumno
	Didáctica de las matemáticas
	Conocimientos, concepciones y prácticas del maestro
	Formación de maestros
	Desarrollo curricular

 
 

A principios de la década de los ochenta, la mayor parte de las investigaciones sobre el nivel básico se centraron en el estudio de los conocimientos y concepciones del alumno; los trabajos en esta línea se han diversificado recientemente al contemplarse otras dimensiones, como la cultural; se empiezan a estudiar los conocimientos matemáticos de adultos no alfabetizados.

Paulatinamente, también se ha ido reconociendo cada vez más la necesidad de hacer estudios, empíricos y teóricos, sobre las condiciones didácticas de los procesos de aprendizaje en los niveles básicos.

Los estudios sobre desarrollo curricular, cuyo propósito es ofrecer alternativas curriculares para el sistema educativo, tienen interés por su carácter integrador de los aportes de distintas líneas y campos de investigación y porque constituyen, al menos idealmente, uno de los principales espacios de impacto de la investigación.

En los últimos años se han empezado a realizar, aunque de manera aún muy incipiente, estudios centrados en el maestro. Se han llevado a cabo algunas investigaciones sobre concepciones, conocimientos y prácticas de enseñanza, y sobre formación de maestros. Estas investigaciones abren campos de estudio prácticamente vírgenes, incluso a nivel internacional, en lo que a enseñanza de las matemáticas se refiere, y dan cuenta, en cierta forma, de una mayor conciencia entre los investigadores de la complejidad de los fenómenos de la enseñanza escolar, de la incidencia de factores de muy diversa índole. Puede decirse que reflejan también una tendencia, aunque incipiente aún, hacia la interdisciplinariedad.
 
 

4.3 Investigación en los niveles medios y superior
 
 

Una de las características de las investigaciones de los niveles medios y superior que se realizan en México es que el énfasis se desplaza hacia la división de los contenidos de acuerdo con las disciplinas tradicionales, al mismo tiempo que se abandonan los aspectos sociológicos, psicológicos y de interacción en el aula propiamente dichos. Esta tendencia se nota más cuanto más se avanza en los niveles escolares. Así, en los estudios correspondientes al nivel de secundaria se empiezan a definir las disciplinas pero todavía están presentes algunos aspectos más generales del desarrollo individual, como son la resolución de problemas, el razonamiento matemático, el desarrollo de habilidades matemáticas, etc., mientras que en los estudios correspondientes al nivel superior, el trabajo está totalmente determinado por el contenido matemático definido de acuerdo con la división disciplinaria clásica. Así, para los niveles medios y superior, las temáticas abordadas son las siguientes:
 

Disciplinas:

1. Álgebra
2. Geometría
3. Cálculo–análisis
4. Probabilidad

Otros campos temáticos (principalmente en estudios del nivel medio básico):

1. Razonamiento matemático
2. Cultura y comunicación en el aula
3. Resolución de problemas
4. Habilidades matemáticas
5. Desarrollo curricular
6. Estudios diagnósticos
7. Evaluación de material didáctico

En lo que se refiere a las disciplinas, los desarrollos más importantes están concentrados, por una parte, en el álgebra (principalmente para los niveles medios) y, por la otra, en el cálculo (en los niveles medio superior y superior), lo que no es del todo extraño ya que estas temáticas son las que mayor peso tienen en el curriculum de estos niveles escolares. Los trabajos varían en el tiempo, en lo que se refiere a los aspectos que atraen la atención de los investigadores: hacia el inicio de la década de los ochenta se ve un gran interés en el análisis del curriculum, el diseño y el desarrollo curricular y el análisis de textos en ambas disciplinas (álgebra y cálculo).

El interés evoluciona en el álgebra hacia un enfoque conceptualista primero, después hacia los estudios de errores, para desembocar en los estudios sobre la adquisición del lenguaje algebraico y el uso de ambientes computacionales, para finales de la década. No obstante, el interés por los estudios curriculares renace en el álgebra en los últimos años a causa de las reformas educativas en el país.

Por lo que respecta al cálculo, se pueden identificar dos tendencias que han tomado forma a principios de la década de los noventa, abandonándose los intereses curriculares iniciales. Ambas tendencias se caracterizan por un enfoque conceptualista en la investigación: la primera está centrada en el aprendizaje de conceptos y la segunda en su enseñanza. Desde luego, los conceptos objeto de estudio son los conceptos básicos del cálculo: derivada, integral, función, variable, continuidad, número real e infinito.

Por su parte, los estudios que conciernen al desarrollo del individuo o a la comunicación en el aula se concentran principalmente en el desarrollo del razonamiento matemático y en la resolución de problemas como vía de aprendizaje. Sin embargo, estos estudios sólo empiezan a prefigurarse al final de la década de los ochenta y están concentrados en el nivel medio básico.
 
 

4.4 Investigaciones sobre aspectos generales
 
 

Dentro del rubro de "aspectos generales" se reúnen estudios que no están determinados por los niveles escolares pero cuya abundancia e interés merecen una clasificación especial. Tenemos, en primer lugar, los estudios sobre el impacto de la microcomputadora en la educación matemática. Esta temática merece la atención de un buen número de investigadores y este interés es creciente en el tiempo, pero con características distintas a las que le dieron origen: en un principio, la atención de los investigadores estaba dirigida hacia el diseño de software educativo, altamente influenciado por las máquinas de enseñanza de las teorías conductistas. Al paso de la década, el interés se ha desplazado hacia el estudio de la microcomputadora como instrumento de exploración y experimentación dentro del aula, con mayor influencia de las teorías constructivistas y de las ciencias cognitivas.

El siguiente grupo de investigaciones tiene un carácter más metodológico. Se trata de investigaciones que hacen uso de los estudios sobre el desarrollo histórico de la matemática, ya sea con fines epistemológicos, psicológicos o didácticos. Este recurso metodológico se encuentra en estudios de todos los niveles escolares y de todas las ramas matemáticas. Desde luego, las discusiones sobre el uso de la historia en la investigación educativa han tenido una evolución a lo largo de la década: del uso de la historia como factor motivador o inspirador del desarrollo de la clase se ha pasado al uso de la historia como un recurso metodológico para establecer relaciones teóricas entre los distintos factores del fenómeno educativo y los contenidos disciplinarios.
 
 

4.5 Los trabajos sobre el estatuto de la disciplina
 
 

Las discusiones sobre la naturaleza de la Educación Matemática se iniciaron en México cuando la disciplina alcanzó una cierta masa crítica de investigadores, de métodos y de temáticas. Correspondió a Carlos Imaz, uno de los pioneros de la Educación Matemática en nuestro país, abrir oficialmente la discusión proponiendo una "primera concepción global y esquemática del área de matemática educativa ...[que pueda^] servir de catalizador hacia otras más amplias" (Imaz, 1987: 267)

Ya antes Filloy (1981) había ubicado a la Educación Matemática en un punto intermedio entre las ciencias y las humanidades y, refiriéndose al caso específico de México, señalaba dos influencias principales: la estadounidense, como el resto del desarrollo científico y tecnológico del país, y la europea, manifiesta en la delimitación de la problemática y la metodología de la investigación en ciencias sociales y humanísticas de nuestro país.

Bonilla (1989) discute las posiciones y los cuestionamientos sobre de la posibilidad de considerar a la Educación Matemática una ciencia. En el centro de la controversia –opina Bonilla– se halla la discusión sobre la "objetividad científica", polarizada en dos posiciones: la que afirma que el conocimiento sólo puede ser alcanzado a través del "método científico", que supone una distancia entre el investigador y su objeto de estudio, y la corriente antropológica, que considera que el problema estudiado sólo tiene sentido si se le analiza en términos estructurales, y que su elección está determinada por los intereses cognoscitivos del investigador. Los correspondientes tipos de investigación a que dan lugar estos enfoques son las llamadas investigaciones cuantitativas y cualitativas, respectivamente.

En Waldegg (1989) se propone una definición de la disciplina a partir de su objeto de estudio, señalando como principal objetivo de la Educación Matemática el desarrollo de un cuerpo teórico de conocimientos que expliquen y, por lo tanto, permitan modificar los procesos educativos de la matemática. Se resalta el hecho de que, a pesar de que la Educación Matemática tiene una gran intersección con las ciencias de la educación, la enseñanza y el aprendizaje de la matemática, hereda la especificidad de esta última.

Flores (1991) presenta otro intento de caracterizar la disciplina alrededor de una serie de problemas que pueden hacerse corresponder con algunas de las áreas de interés de este campo: desarrollo cognitivo, aprendizaje de habilidades, aprendizaje de conceptos, resolución de problemas, diferencias individuales, actitudes, currículo, enseñanza y formación de profesores. Flores señala como una tarea necesaria la elaboración de marcos conceptuales que reflejen sobre las áreas mencionadas las características propias de la matemática. A diferencia de otras ciencias, la Educación Matemática no cuenta con teorías globales, sin embargo, existe una red internacional de investigadores y publicaciones especializadas que por el momento –opina Flores– son las que, en la práctica, la definen.

Mancera (1990) llama la atención sobre la multiplicidad de definiciones y concepciones de la Educación Matemática y concluye que, por el momento, es más importante reconocer la complejidad inherente a sus problemas y la necesidad de un trabajo interdisciplinario que intentar dar una definición más de la disciplina.

Si bien la discusión sobre su naturaleza no ha sido particularmente abundante en nuestro país, no se puede soslayar su permanencia entre la comunidad, como una preocupación patente, que define y determina el rumbo que debe seguir esta actividad en su desarrollo futuro.
 
 

5. Conclusión

Una vez descritas las principales corrientes de investigación dentro de la teoría de la Educación Matemática, se impone una reflexión final acerca de la naturaleza de este campo como área de conocimiento. ¿Se trata de un saber meramente práctico, una tecnología fundada y dependiente de otras ciencias, o, por el contrario, existen problemas cuyas características requieren un nivel de análisis teórico y una metodología propia de un verdadero saber científico?

Esta reflexión epistemológica, esencial para orientar adecuadamente la investigación, ha sido poco tratada en la literatura. Destaca, sin embargo, el trabajo de Brousseau (1989) con el significativo título de "La torre de Babel" y las ideas de Steiner.

Ante la complejidad de los problemas de la Educación Matemática, Steiner (1985) señala la emergencia de dos reacciones extremas:
 

	Quienes afirman que la Educación Matemática no puede llegar a ser un campo con fundamentación científica y, por tanto, la enseñanza de la matemática es esencialmente un arte.
	Quienes, pensando que es posible que la Educación Matemática sea una ciencia, reducen la complejidad de los problemas seleccionando sólo un aspecto parcial (análisis del contenido, construcción del currículo, métodos de enseñanza, desarrollo de destrezas, etc.) al que atribuyen un peso especial dentro del conjunto.

 
 

De manera parecida se expresa Brousseau (1989), indicando una primera acepción de la Educación Matemática, que identifica con "el arte de enseñar", es decir, el conjunto de medios y procedimientos que tienden a hacer conocer la matemática. Brousseau, sin embargo, distingue dos concepciones de carácter científico: la "fundamental" y la "matemática". Como bisagra entre estos dos grupos identifica la concepción "tecnicista", para la que la didáctica es el conjunto de técnicas de enseñanza.

El punto de vista que Brousseau llama fundamental coincide con la segunda tendencia señalada por Steiner. La didáctica, como área de conocimiento científico, sería el "campo de investigación llevado a cabo sobre la enseñanza en el cuadro de las disciplinas científicas clásicas", como la psicología, la semiótica, la sociología, la lingüística, la epistemología, la lógica, la neuropsicología, la pedagogía, etc. En este caso, la naturaleza del conocimiento didáctico sería la de una tecnología fundada en otras ciencias.

La concepción que Brousseau llama "matemática" tiende a integrar todos los sentidos precedentes y a asignarles un lugar con relación a una teoría unificadora del hecho didáctico, cuya fundamentación y métodos serían específicos, pretendiendo una justificación endógena. Dicha concepción pudiera ser el comienzo de una respuesta a la necesidad señalada por Steiner:
 
 

... de una base teórica que nos permita una mejor comprensión e identifique las diversas posiciones, aspectos e intenciones que subrayan las diferentes definiciones de Educación Matemática en uso, para analizar las relaciones entre estas posiciones y conjuntarlas en una comprensión dialéctica del campo total (Steiner, 1985: 11).
 
 

En la Escuela Francesa se observa una aspiración a construir un área de estudio científico propio que no sea dependiente del desarrollo de otros campos científicos, no siempre consistentes. Este objetivo contrasta con la postura de Steiner quien no es partidario de insistir en la búsqueda de teorías internas que pueden encerrar el peligro de restricciones inadecuadas. La naturaleza del tema y sus problemas reclaman una aproximación interdisciplinaria y sería erróneo no hacer un uso significativo del conocimiento que otras disciplinas han producido sobre aspectos específicos de aquellos problemas. Steiner afirma que la Educación Matemática debe tender a la transdisciplinariedad, término que cubre no sólo las interacciones y reciprocidades entre proyectos de investigación especializada, sino que sitúa estas relaciones dentro de un sistema total, sin límites entre disciplinas.

La búsqueda de una teoría de carácter fundamental, con aceptación general para explicar y predecir el conjunto de fenómenos asociados a los procesos de enseñanza y aprendizaje de las matemáticas, ha sido hasta el momento infructuosa. El estado actual de la Educación Matemática puede definirse como un campo de investigación científico–tecnológico emergente en el que se identifican un cúmulo de teorías competitivas, expresadas generalmente de un modo informal y dependientes, especialmente, de planteamientos psicológicos. Sin embargo, el número y calidad creciente de investigaciones en el área permiten ver con optimismo la consolidación de la disciplina como campo autónomo del conocimientos en un futuro no muy lejano.
 
 

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

BALACHEFF, Nicholas (1990) "Future Perspectives for Research in the Psychology of Mathematics Education", en NESHER y KILPATRICK (1990), pp. 187-196.

BONILLA, Elisa (1989) "La Educación Matemática: una reflexión sobre su naturaleza y sobre su metodología", Educación Matemática, vol. 1, núm. 2, pp. 28-41 y vol. 1, núm. 3, pp. 30-36.

BROUSSEAU, Guy (1986) "Fondement et méthodes de la didactique des mathématiques", Recherches en Didactique des Mathématiques 2, vol. 7, pp. 33-115.

____ (1989) "La tour de Babel. Études en Didactique de Mathématiques", Article Occasionnel 2, Burdeos, IREM de Bordeaux.

CHEVALLARD, Y. y JOHSUA, M-A (1982) "Un example d’analyse de la transposition didactique: la notion de distance", Recherches en Didactique des Mathématiques 1, vol. 3, pp. 159-239.

FILLOY, Eugenio (1981) "Investigación en matemática educativa en México. Un reporte", Recherches en Didactique des Mathématiques 2, vol 2, pp. 233-253.

FISCHBEIN, Edward (1990) "Mathematics and Cognition", en NESHER y KILPATRICK (1990), pp. 1-13.

FLORES, Alfinio (1991) "¿Qué es la Educación Matemática?", Educación Matemática 1, vol. 3, pp. 67-76.

HIGGINSON, W. (1980) "On the Foundations of Mathematics Education", For the Lerning of Mathematics 2, vol. 1, pp. 3-7.

IMAZ, Carlos (1987) "¿Qué es la matemática educativa?", en Memorias de la I Reunión Centroamericana y del Caribe sobre Formación de Profesores e Investigación en Matemática Educativa, Mérida, Yuc., pp. 267-272.

LABORDE, Colette (1989) "Audacy and Reason: French Research in Mathematics Education", For the Lerning of Mathematics 3, vol. 9, pp. 31-36.

MANCERA, Eduardo (1990) "Investigación y Educación Matemática", Educación Matemática 1, vol. 2, pp. 10-20.

NESHER, P. y KILPATRICK, J. (eds.) (1990) Mathematics and Cognition: A Research Synthesis by the International Group for the Psychology of Matematics Education, Cambridge, Cambridge University Press.

STEINER, Hans-Georg (1985) "Theory of Mathematics Education (TME): An Introduction", For the Lerning of Mathematics 2, vol. 5, pp. 11-17.

STEINER, Hans-Georg et al. (eds.) (1984) "Theory of Mathematics Education (TME)", Occasional Paper 54, ICME 5.

STEINER, H-G. y VERMANDEL, A. (eds.) (1988) Foundation and Methodology of the Discipline Mathematics Education (Proceedings of the 2^nd TME Conference), Bielefeld-Anterwerp, Dept of Didactics and Criticism, Anterwerp Univ. & IDM.

VERGNAUD, Gerard (1988) "Why is Psychology Essencial? Under Which Conditions?" en STEINER, H-G. y VERMANDEL, A. (eds.) (1988), pp. 113-119.

WALDEGG, Guillermina (1989) "La evaluación del trabajo académico en Matemática Educativa", Avance y Perspectiva 39, vol. 8, pp. 53-56.

____ (Coord.) (1995) Procesos de enseñanza y aprendizaje, vol 2, México, Consejo Mexicano de Investigación Educativa/Fundación SNTE para la Cultura del Maestro Mexicano.

Regresar