Por Manuel López Michelone

Internet es mucho más que chats, páginas de contenidos pornográficos o correo electrónico. He aquí un día típico cuando se busca información: Escucho un capítulo de radio de Tres Patines y la Tremenda Corte (bajado de http://www.espartha.com/blog/2006/07/21/tres-patines-y-la-tremenda-corte/ ) en donde el Juez amenaza al siempre pillo José Candelario (tres patines), a dos cadenas perpetuas. Aunque el programa radial era cómico es claro que la amenaza de esa sentencia pudiese parecerlo, pues no parece tener mucho sentido aplicar más que una cadena perpetua, ¿verdad? pero en la vida real tenemos, sobre todo con el sistema legal norteamericano, que sentencian a tres cadenas perpetuas más un día, por ejemplo, al acusado de un crimen con premeditación, alevosía, ventaja y traición. Sin duda esta sentencia es equivalente a la de cadena perpetua ¿o no? Porque quien pueda terminar la primera sentencia, la cual por definición es inacabable, tendría que llevar una segunda cadena perpetua… Y en caso de poder terminar con esa, aún tendría que padecer una cadena perpetua más. Por si fuera poco, si el acusado hubiese podido con esas tres cadenas perpetuas, le queda un día más recluido. Todo es absurdo, desde luego. Una sola cadena perpetua no puede ser terminada nunca, por lo que las demás salen sobrando. Sin embargo, aquí se me ocurrió preguntarme de cuántos días es una cadena perpetua y cuántos días tendrán dos cadenas perpetuas ¿será acaso el doble? ¿Será que ambos conjuntos son de diferentes tamaños?.. ¿qué cardinalidad tiene? ¿es numerable? La respuesta la tenemos en Internet. Si buscamos números transfinitos hallaremos un montón de lugares dentro de la red. Muchos de ellos hablarán de Cantor. Entonces, lo que hacemos es entrar a Wikipedia y listo (http://es.wikipedia.org/wiki/Georg_Cantor): Georg Cantor (1845-1918), nacido en San Petersburgo, Rusia, (aunque a los 11 años de edad emigró con su familia a Francfort, Alemania, donde vivió hasta su muerte) desarrolló la Mengenlehre (teoría de conjuntos), que tuvo, desde mediados del siglo XX, efectos profundísimos en la enseñanza de la matemática en todos sus niveles. Sus trabajos más importantes se refieren a los conjuntos infinitos. En primer lugar, consideremos la siguiente pregunta: ¿qué es el infinito? Cantor encontró una definición precisa de un conjunto infinito de elementos. Pensó en un axioma que había sido utilizado con gran soltura y que aparece en los Elementos de Euclides (alrededor del año 300 a.C.) bajo el título de Nociones Comunes. De éstas, la número cinco expresa famosamente: El todo es mayor que la parte. Bertrand Russell, sin embargo, nos advierte: Este axioma es cierto para los números finitos. Los ingleses, por ejemplo, son sólo una parte de los europeos, y hay menos ingleses que europeos. Pero cuando llegamos a los números infinitos esto ya no es cierto.

Pero qué es un conjunto infinito? De nuevo Wikipedia nos saca del problema: (http://es.wikipedia.org/wiki/Infinito) He aquí, la definición de Cantor de conjunto infinito, en boca de Russell: Un conjunto de términos es infinito cuando contiene como partes otros conjuntos que tienen tantos términos como él. Hay, por ejemplo, tantos números pares como números naturales: 1, 2, 3, 4, 5, ad infinitum 2, 4, 6, 8, 10, ad infinitum. Como se ve, a cada número natural le corresponde su doble y a cada número par le corresponde su mitad. De esta manera, se concluía que los dos conjuntos tenían el mismo número de elementos. Utilizando estas correspondencias, Cantor demostró que el conjunto de los números naturales (1, 2, 3, …) tiene la misma cantidad de elementos que el conjunto de los números enteros (…, -2, -1, 0, 1, 2, …) y que el conjunto de los números racionales (es decir, todos los números anteriores y además, las fracciones). Sin embargo, estos conjuntos tienen menos elementos que el conjunto de todos los números irracionales (números que no pueden escribirse como fracción; ejemplo, el número pi). A los números que indican la cantidad de elementos de un conjunto infinito se los llama transfinitos. El conjunto de los números naturales y todos los conjuntos que pueden ponerse en correspondencia con él tienen el mismo número de elementos. Cantor llamó a este número (aleph, primer letra del alfabeto hebreo), y es el número transfinito más pequeño

Así entonces, una cadena perpetua en días puede compararse con los números enteros ¿no es así? Tiene exactamente el mismo tamaño de la segunda cadena perpetua, y por lo tanto tienen ambos la misma cardinalidad. Curiosamente una cadena perpetua tiene la misma cantidad de elementos que dos cadenas perpetuas, aunque parezca extraño al sentido común. Por eso Cantor es tan importante en este aspecto de las matemáticas. En resumen, resulta incluso equivocado como Juez sentenciar a un acusado a más de una cadena perpetua. No tiene sentido de acuerdo a Cantor, ¿y qué mejor opinión que la de él.

Así, de búsqueda en búsqueda hallamos un montón de información útil, toda gratuita y lista para ser usada. Con esto solamente, sería suficiente razón para estar conectado a Internet.