Universidad Veracruzana

Métodos y Técnicas de Análisis Cuantitativo.

Mtro. Marco Antonio Méndez Salazar

Licenciado en Economía o en Matemáticas o en Estadística, con maestría y/o doctorado en Matemáticas o en Ciencias o en Economía o en Ciencias Económicas o en Economía Matemática. Con un año de experiencia docente en el nivel superior.

En un ambiente que propicie la disciplina en el trabajo cotidiano y el amor por el estudio para el descubrimiento de la verdad, los estudiantes aprenderán, aplicarán y manejarán con rigor científico los conceptos y los métodos elementales del Álgebra Lineal (a saber, los números reales y complejos como sistemas algebraicos, los sistemas de ecuaciones lineales y el método de eliminación gaussiana, el álgebramatricial y la geometría de vectores, los determinantes, los valores y vectores característicos de una matriz, y las formas canónicas de matrices), desarrollando habilidades de abstracción.

Los alumnos participan activamente en las clases, con una actitud reflexiva y crítica ante las exposiciones del profesor, realizan lecturas de comprensión y resuelven problemas de manera creativa, en un marco de disciplina en el trabajo cotidiano y pasión por el hallazgo de la verdad, con rigor científico, para dominar los aspectos elementales de la teoría y aplicaciones del Álgebra Lineal, los cuales les permiten aplicar herramientas pertinentes para expresar y comunicar matemáticamente teoría económica, así como manipular representaciones y modelos para obtener resultados que les sean útiles como elementos para el análisis, la toma de decisiones y la emisión de juicios o recomendaciones acerca de la realidad socioeconómica.

El curso-taller de Álgebra Lineal se ubica dentro del plan de estudios de la carrera de Economía en el área de iniciación a la disciplina. El dominio de las técnicas de solución de sistemas de ecuaciones lineales y de los rudimentos del álgebra matricial constituye el primer paso en la adquisición tanto del lenguaje como del acervo metodológico-instrumental necesarios para modelar matemáticamente fenómenos económicos que dependen una gran cantidad de factores. Además, la asignación de significado geométrico a objetos algebraicos proporciona lenguaje y conceptos necesarios para la modelación matemática de fenómenos económicos. Así, esta experiencia educativa coadyuva al desarrollo de las competencias que caracterizan el quehacer académico y profesional del economista, al mismo tiempo que permite al estudiante desarrollar conocimientos, habilidades, aptitudes y valores que le permitirán enfrentarse con éxito a experiencias educativas posteriores.

Los fenómenos socioeconómicos dependen, en general, de múltiples factores. Por tanto, el estudioso de la economía requiere dominar un marco conceptual para el tratamiento de modelos multivariados, mismo que se desarrolla a partir del concepto de matriz-vector y sus propiedades algebraicas y geométricas. El dominio de métodos para la resolución de sistemas de ecuaciones, álgebra matricial, geometría de vectores y formas
canónicas de matrices se constituye en una necesidad para el economista que ha de expresar con precisión los asertos de la teoría económica, transformándolos en modelos matemáticos y econométricos multivariados que le permitan contar con mediciones precisas para tomar decisiones y contribuir a la solución de los complejos problemas de la sociedad y la economía contemporáneas.

Funciones trigonométricas y números complejos
- Comprender las definiciones de las funciones trigonométricas en la circunferencia unitaria.
- Conocer las identidades trigonométricas básicas.
- Definición y propiedades de números naturales, enteros, racionales, reales y complejos.
- Magnitud y argumento de un número complejo. Forma Polar.
Bibliografía sugerida: [2, Apéndice B], [4, Apéndice C]

Sistemas lineales y eliminación gaussiana
- Analizar el método de eliminación gaussiana para la solución de sistemas de ecuaciones lineales.
Bibliografía sugerida: [2, Capítulo 1]
- Distinguir las tres posibilidades acerca de existencia y unicidad de soluciones de un sistema lineal, relacionándolas con el concepto de rango de una matriz.
Bibliografía sugerida: [3, Capítulo 1, Secciones 1.1 y 1.2]
Bibliografía sugerida: [1, Cap. 1, Seccs. 1.2 y 1.3], [1, Cap. 5, Secc. 5.4.2]

Álgebra matricial y geometría de vectores
- Definir las operaciones del álgebra matricial.
- Enlistar las propiedades de las operaciones con matrices, haciendo énfasis tanto en los aspectos operativos para matrices numéricas como en el uso de matrices simbólicas.
- Definir el concepto de matriz no singular.
- Enlistar las propiedades de la inversa de una matriz.
- Enunciar las condiciones equivalentes para verificar la no singularidad de una matriz.
Bibliografía sugerida: [2, Capítulo 2]

- Describir vectores en el plano euclidiano en términos de sus coordenadas, interpretar geométricamente las operaciones con vectores en el plano.
- Definir la longitud de un vector en el plano y el ángulo entre dos vectores dados.
- Definir el concepto de ortogonalidad entre vectores del plano.
- Describir vectores en el espacio euclidiano n¿dimensional en términos de sus coordenadas, interpretar geométricamente las operaciones con vectores.
- Definir la longitud de un vector y el ángulo entre dos vectores dados. Definir el concepto de ortogonalidad entre vectores n¿dimensionales.
Bibliografía sugerida: [2, Capítulo 4], [4, Capítulo 12]

Determinantes y la Regla de Cramer
- Definir el determinante de una matriz cuadrada.
- Enlistar las propiedades del determinante, poniendo énfasis en su utilización para el cálculo de determinantes de matrices especiales.
- Estudiar la relación entre el concepto de determinante y el concepto de inversa de una matriz.
Bibliografía sugerida: [2, Capítulo 3]

Vectores y Valores Propios
- Definir los conceptos de eigenvalor y eigenvector de una matriz cuadrada.
Bibliografía sugerida: [2, Capítulo 8]

Funciones trigonométricas y números complejos
- Convertir ángulos medidos en grados a radianes, y viceversa.
- Calcular valores de las funciones trigonométricas para ángulos especiales.
- Aplicar las identidades trigonométricas para el cálculo de funciones trigonométricas en ángulos especiales.
- Realizar operaciones aritméticas con números complejos.
- Aplicar la forma polar y la fórmula de De Moivre para resolver rápidamente multiplicaciones y potencias de números complejos.

Sistemas lineales y eliminación gaussiana
- Utilizar correctamente el método de eliminación gaussiana para resolver sistemas de ecuaciones lineales.
- Aplicar los teoremas de Rouche-Frobenius y de Kronecker-Capelli para analizar el número de soluciones de un sistema lineal.
- A partir de una situación problemática planteada en lenguaje cotidiano o en el lenguaje de la ciencia económica:
*Plantear un sistema de ecuaciones lineales que represente tal situación.
*Resolver el sistema planteado.
*Interpretar las soluciones obtenidas en el contexto original.

Álgebra matricial y geometría de vectores
Identificar tipos especiales de matrices.
Realizar operaciones con matrices.
Expresar sistemas de ecuaciones lineales en forma matricial.
Utilizar las propiedades de las operaciones con matrices para simplificar expresiones.
Utilizar las matrices y sus operaciones como herramientas para la modelación.
Calcular inversas de matrices numéricas y simbólicas por eliminación de Gauss¿Jordan.
Dibujar y operar vectores en el plano.
Calcular longitudes de vectores y ángulos entre pares de vectores.
Operar con vectores n¿dimensionales.
Calcular longitudes de vectores y ángulos entre parejas de vectores.
Calcular ecuaciones de planos en el espacio tridimensional.
Calcular ecuaciones paramétricas de rectas, semirrectas y segmentos en el espacio n¿dimensional.

Determinantes y la Regla de Cramer
Calcular determinantes por diversos métodos, en particular, utilizando el desarrollo por cofactores.
Utilizar la Regla de Cramer para resolver sistemas de ecuaciones lineales e invertir matrices.
Aplicar determinantes en el análisis de modelos lineales de la teoría económica, por ejemplo, el modelo de insumo-producto de Leontief.

Vectores y Valores Propios
Calcular eigenvalores y eigenvectores de matrices específicas.
Calcular diagonalizaciones y formas canónicas de Jordan para matrices específicas.

- Disciplina en el trabajo cotidiano.
- Amor por el estudio para el descubrimiento de la verdad.
- Rigor científico.
- Creatividad.
- Aprecio por la precisión en la expresión de las ideas.
- Aprecio por la abstracción como herramienta para comprender el mundo.

- Lectura de comprensión e interpretación de la literatura básica.
- Ejercicios orientados a la repetición simple y acumulativa de procedimientos.
- Aprendizaje basado en problemas de aplicación a la economía.
- Consulta de dudas al profesor.

- Planeación del contenido de las clases.
- Exposición de los saberes teóricos y heurísticos con apoyo tecnológico variado.
- Orientación del aprendizaje basado en problemas.
- Aclaración de dudas.

- Sitio del curso en el sistema Eminus.
- Antología elaborada por la Academia de Métodos Cuantitativos.

- Salón de clases y centro de cómputo con capacidad suficiente para el número de alumnos inscritos.
- Pizarrón y plumones.
- Laptop y proyector.
- Software científico de licencia libre: GeoGebra, Scilab y wxMaxima.

Evaluaciones parciales escritas (por lo menos dos, aplicadas a lo largo del período).
Examen final (ordinario) escrito.

- Honestidad en la presentación de las respuestas.
- Precisión y claridad.
- Aplicación correcta y pertinente de los procedimientos.
- Validez de los razonamientos.

Salón de clases.

La calificación final en carácter de examen ordinario será acumulativa, incluyendo tanto los puntajes ponderados obtenidos en las evaluaciones parciales como el puntaje obtenido en el examen final.

[1] Aleskerov, F., H. Ersel & D. Piontkovski (2011). Linear Algebra for Economists. Berlin: Springer.
[2] Grossman, S. I. y Flores Godoy, J. J. (2012). Álgebra Lineal, séptima edición. México: McGraw-Hill.
[3] Hernández, E. (1994). Álgebra y Geometría. Wilmington, De.: Addison-Wesley Iberoamericana.
[4] Sydsaeter, K. y Hammond, P. J. (2011). Matemáticas para el Análisis Económico. Segunda Edición. Madrid: Pearson.

- Caballero Fernández, R., A. González Pareja y F. Triguero Ruiz (1992). Métodos Matemáticos para Economía. Madrid: McGraw¿Hill.
- Chiang, A. C. (1967). Métodos Fundamentales de Economía Matemática. Buenos Aires: Amorrortu.
- Dorfman, R., P. Samuelson y R. Solow (1964). Programación Lineal y Análisis Económico, segunda edición. Madrid: Aguilar.
- Gale, D. (1960). The Theory of Linear Economic Models. Chicago: The University of Chicago Press.