situaciones que parten de la vida real, que permiten construir de manera sistemática conocimientos sobre esta realidad y que permiten aplicar estos conocimientos para transformar la situación estudiada [...] En esta concepción pedagógica los contenidos de aprendizaje no se presentan preparados y secuencialmente organizados según la lógica científica de las disciplinas; más bien, se parte de la idea de que la realidad concreta de las comunidades debe ser el objeto de estudio a abordar desde el enfoque de las diversas disciplinas propias del nivel educativo, de manera que los conocimientos adquiridos a través de las actividades de estudio-práctica se transformen en acciones para mejorar la situación de vida en la región (Butting Pries, 1996)
Para generar situaciones educativas en matemáticas, en los niveles medios y superior es necesario realizar un análisis a partir de una situación de la realidad, del contenido matemático específico que se aborda y del procesamiento cognoscitivo que el estudiante realiza ante dicho contenido, de manera que se pueda plantear una estrategia de enseñanza en que se logre:
• que el problema se entienda y sea significativo al sujeto (personal y culturalmente)
• que se permitan diferentes formas de resolución
• que se eleve el nivel de generalidad y abstracción del razonamiento
• que se construya un lenguaje matemático para poder operar mentalmente las ideas generales y abstractas
• que el alumno comprenda las convenciones del lenguaje matemático
• que el alumno
pueda resolver otros problemas de la realidad al comprender y transferir principios generales
El punto central
de este escrito será, a partir del modelo general para la generación
de situaciones educativas, analizar la relación que se da al abordar
el sujeto un contenido complejo y que corresponde a un campo estructurado
y convencional del conocimiento humano. Este análisis será
un elemento de gran importancia para plantear intervenciones adecuadas en
la enseñanza de estos contenidos.
1. Ubicacion
teórico metodológica
Desde el punto de vista de la psicología el modelo propuesto se inserta dentro de lo que en psicología cognoscitiva se llama "estudios de dominio específico" y, más concretamente, se ubica dentro del área de psicología de las matemáticas. El estudio de los procesos cognoscitivos en un campo específico es una tendencia que se ha producido en los últimos años como una consecuencia del estudio de procesos cognoscitivos superiores, en especial, dirigidos a la enseñanza.
Por décadas se han estudiado en la psicología los procesos universales del aprendizaje, del pensamiento y del desarrollo, suponiendo que podrían aplicarse directamente en campos específicos. Estos estudios nos dan información muy importante acerca del proceso cognoscitivo general del sujeto, pero falta en ellos información acerca de cómo devolverlos y aplicarlos en su contexto natural, en especial en los procesos de enseñanza de contenidos complejos.
Hirschfel y Gelman señalan, en relación con la importancia de este enfoque, que "a growing number of researchers have concluded that many cognitive abilities are specialized to handle specific types of information. In short, much of human cognition is domain-specific." (Hirschfel y Gelman, 1994). También afirman que tal perspectiva no es nueva y que tiene antecedentes en las epistemologías de Descartes y Kant, así como en las psicologías de Thorndike, Vygotsky y Groot.
El siguiente
es un argumento de Vygotsky en relación con la importancia del estudio
de procesos de dominio específico:
the mind is not a complex network of general capabilities such as observation, attention, memory, judgment, and so forth, but a set of specific capabilities, each of which is, to some extent, independent of others and is developed independently. Learning is more than the acquisition of the ability to think; it is the acquisition of many epecialized abilities for thinking about a variety of things. Learning does not alter our overall ability to focus attention but rather develops various abilities to focus attention on a variety of things (Vygotsky, 1978).
Hirschfel y Gelman (1994) están de acuerdo en que Chomsky elaboró el primer modelo moderno acerca del dominio específico, concluyendo que la mente es un sistema modular consistente en una serie de subsistemas con propiedades particulares. Así, la mente tiene funciones generales al sistema, pero con comportamientos diferentes en los subsistemas.
2. Psicología
de las matemáticas
La psicología de las matemáticas se ocupa de "cómo se lleva a cabo el pensamiento matemático experto, de cómo se desarrolla esta experiencia, y de cómo la enseñanza
puede mejorar el proceso de aprendizaje de las matemáticas." (Resnick y Ford, 1990). Es decir, es una nueva tendencia que surge como resultado de la consideración de los dominios específicos.
El intento sistemático de comprender los procesos particulares del pensamiento matemático ha generado una nueva línea de investigación dentro de la psicología cognoscitiva, que une el interés acerca de los procesos de pensamiento con el interés de la psicología tradicional del aprendizaje, en función de la manera en que se adquieren las habilidades. Este enfoque dedica cada vez más una atención explícita al papel de la enseñanza en el desarrollo del pensamiento matemático.
La psicología
de las matemáticas es un campo dualista que requiere del conocimiento
de la estructura de las matemáticas y del conocimiento de cómo
la gente piensa, razona y usa sus capacidades intelectuales. Tal como nos
lo señalan Resnik y Ford, "es el estudio de cómo se interrelacionan
el contenido y el pensamiento humano el que define este campo". El esquema
1 representa el modelo general de la psicología de las matemáticas:
INSERTAR ESQUEMA 1. Modelo general de la psicología
de las matemáticas como un campo de intersección
1. 2 Orígenes
del enfoque
A nivel histórico tenemos un antecedente importante en el estudio del aprendizaje de las matemáticas en Thorndike, que hizo estudios sobre el aprendizaje de contenidos, como lectura y matemáticas. (Thorndike, 1922). Aunque estos estudios están centrados en el procedimiento de resolución convencional y se espera que el alumno lo tome directamente, por repetición, hay un aporte que es importante retomar: el análisis detallado que realiza de un contenido complejo en cuanto a su procedimiento de resolución. Este tipo de análisis se utiliza actualmente en psicología cognoscitiva, estableciendo una diferencia entre el conocimiento procedural o procedimental, que se refiere al cómo se realiza una tarea, y el conocimiento declarativo, que se refiere a los conceptos involucrados en una tarea: el qué. Este análisis es también una herramienta importante en el campo de la Inteligencia Artificial, en la representación del conocimiento cibernético. Es aplicable al diseño de sistemas expertos de consulta y a tutores inteligentes, así como a la robótica. En estos campos se ha acentuado la necesidad de abordar aspectos muy definidos de un contenido y de su procesamiento cognoscitivo, profundizando en la relación entre conceptos y reglas de operación.
El modelo sujeto-objeto propuesto por Jean Piaget desde la psicología genética (1983) es importante para este tipo de estudios por su carácter dualista: considera los procesos cognoscitivos del sujeto y las características del objeto en forma interrelacionada en la construcción del conocimiento. Para este caso nos interesa estudiar las relaciones profundas del objeto (los contenidos de matemáticas) y la forma en que el sujeto los procesa cognoscitivamente.
La estructura del contenido, con sus conceptos y relaciones, y los procedimientos de resolución conforman el objeto con el que el sujeto interactúa para lograr el propio conocimiento, un sujeto con un nivel de desarrollo cognoscitivo, con esquemas previos de conocimiento, con lógicas propias desarrolladas, con potencialidades de crecimiento cognoscitivo y otras características más. Este modelo es principalmente intrasubjetivo, ya que se centra en la construcción del conocimiento por parte del sujeto.
Piaget no estudia la intervención de otro sujeto como enseñante, que es un elemento de nuestro interés. Por ello se retoma este elemento del modelo creado por Reuven Feuerstein (1991), quien incorpora a un tercero, que media en el aprendizaje y estudia las modalidades de dicha intervención. La intervención de un mediador es importante porque selecciona y organiza estímulos del medio con una finalidad determinada, llevando al sujeto a trascender el objeto concreto y el hecho actual para trasmitir significados personales y tradicionales-culturales.
En relación
con la trascendencia y el significado, Feuerstein señala:
The need to trascend the "immediacy" of one's existence forms the operational expression and techniques deployed by each "culture" in its striving to transmit itself to the next generations and to ensure its perpetuity in this way. It is through trascendence that needs for survival and accede to the collective goals of existence, which on the groups level cannot but take a "spiritual" form of expression [...] The mediated propensity of the individual to search and construct meanings for his life is the energetic determinant of the changes he will undergo and the trasnformations of the inmediate and the more remote goals of life and the means to achieve them.
1.3 Los métodos de la psicología de las matemáticas
El estudio se centra en el proceso cognoscitivo intermedio, es decir, en el procesamiento mental de la información. Por ello, los métodos de investigación se remiten a la inferencia de dichos procesos a partir de las conductas que se observan, de sus patrones de aparición, de la entrevista clínica, así como de los instrumentos de representación gráfica-simbólica del conocimiento, como son los mapas conceptuales (Novak y Gowin, 1991), los mapas mentales (Buzán y Buzán, 1996), las redes semánticas utilizadas en psicología cognitiva para la representación de la memoria semántica (Coollins y Quillian, 1969, 1972, y de Greeno en 1978), y la inteligencia artificial en el área de representación del conocimiento (Fishler y Firschein, 1978).
En estas representaciones
hay conceptos relacionados y procedimientos, ya sea realizados por los sujetos
o inferidos por el investigador. Este tipo de representacion es importante
y será utilizado constantemente en este modelo, porque permite presentar
de manera sintética y gráfica múltiples relaciones clasificadas
y jerarquizadas, además de que muestra con claridad las interrelaciones
y su tipo. Los conceptos son representados con nodos y las relaciones con
ligas.
2. La
construcción de lenguaje matemático
Para lograr la presencia del significado en las actividades de enseñanza se propone partir de situaciones de la realidad concreta que tienen cercanía con la vida cotidiana y la cultura propia. El proceso de partir de ellas e ir más allá, analizando, comparando y creando modelos, propio del trabajo de construcción conceptual en matemáticas, nos lleva a abordar la idea de trascendencia, siendo el lenguaje un punto importante para generalizar y trascender los hechos inmediatos. La construcción de un lenguaje matemático permite el procesamiento más general y abstracto de la información, así como la comprensión de los objetos complejos que se aborden en este campo.
En el esquema
2 se presenta un modelo de proceso de construcción de lenguaje matemático
que muestra la dinámica a seguir en las situaciones educativas en matemáticas
para ir desde las situaciones concretas hasta las estructuras algebraicas.
El modelo que propongo tiene fundamento en los niveles de traducción
expuestos por Perelman (1978) y en las tres operaciones mentales que son
necesarias para la trascendencia, tal como la señala Feuerstein: comparación,
generalización y transferencia.
INSERTAR ESQUEMA 2: ESQUEMA 2. Modelo de construcción de
lenguaje matemático
3. Modelo
para el diseño de situaciones educativas en matemáticas
El modelo general
para la creación de situaciones educativas en matemáticas consta
de 4 nodos principales (véase esquema 3):
1. Situación de la realidad
2. Contenido matemático
3. Proceso cognoscitivo del sujeto ante el contenido matemático
4. Modelo de
intervención para la enseñanza
INSERTAR ESQUEMA 3. Modelo general para el diseño
de situaciones educativas en matemáticas
Las relaciones
señaladas se dan como sigue:
1. Se parte de
una situación problema de la realidad cercana que requiere de conocimiento
matemático para su solución. Esto nos permite trabajar acerca
del significado personal y cultural.
2. Se identifica el contenido matemático
que se requiere y se analiza con detalle: conceptos generales y secundarios
jerarquizados y clasificados. Estrategias de solución en diferentes
niveles de generalidad y abstracción.
3. A partir de
las estrategias jerarquizadas se analiza el procesamiento cognoscitivo que
cada una requiere del sujeto. Esta es la información más importante
para la evaluación del sujeto en su ejecución y nos da la pauta
para la intervención en enseñanza.
4. El análisis del objeto
de forma jerarquizada y clasificada nos permite ubicar las variables que complejizan
o simplifican el problema, diseñar, con base en ello, variaciones
del problema original, y seleccionar el tipo de intervención que lleve
al sujeto a una mayor complejización de los conceptos, a un más
alto nivel de generalidad y abstracción, a la construcción de
lenguaje matemático y a la aplicación del conocimiento.
Cuando en las
estrategias de nuestro análisis se incluyen también las erróneas,
que se recopilan estudiando diferentes formas de resolución por parte
de muchos sujetos, el modelo es más completo y nos permite detectar
las causas de error, sean producto del desarrollo o de la información
deformada o incompleta del tema que se estudia.
3.1 Complejidad del
análisis de la relación sujeto-objeto
En la siguiente
red se señala de manera general el modelo de análisis e interacción
entre sujeto y objeto. Ambos tienen una gran complejidad: el objeto (contenido
matemático analizado) es una estructura jerárquica, clasificada
e interrelacionada con otros conceptos, y se puede abordar en diferentes niveles
de abstracción y generalidad que corresponden a diferentes estrategias
de resolución. Por su parte, el sujeto tiene una estructura cognoscitiva
en cierto nivel de desarrollo, tiene esquemas de conocimiento previos, elementos
de lenguaje y factores afectivos y motivacionales, entre otros.
INSERTAR ESQUEMA 4. Red general de la relación
sujeto-objeto
El sujeto, en un momento específico de su desarrollo y de su aprendizaje, se vincula con un objeto, con estrategias que corresponden a sus capacidades lógicas y a sus esquemas previos de conocimiento de dicho objeto. El puente que vincula claramente en nuestra red al sujeto con el objeto es la estrategia de resolución que utiliza: a partir de ella, hacia el objeto, puedo inferir el nivel de respuesta en cuanto a generalidad y abstracción, así como el tipo y la complejidad conceptual que corresponde al procedimiento utilizado. Puedo observar, a partir de ubicarlo, los aspectos que le faltan a su conocimiento de este objeto específico. También, hacia el sujeto, puedo inferir el nivel de representación del conocimiento que maneja, la complejidad de su conocimiento previo, el tipo de lógica utilizada y la utilización de lenguaje matemático.
Es en razón
de esta valoración que consideramos importante permitir que el sujeto
resuelva libremente un problema y observarlo: su lógica y forma de
manejo de la información es nuestro principal indicador del abordaje
cognoscitivo que hace ante un objeto específico y nos permite definir
la estrategia de intervención.
4. Un
desarrollo específico del modelo
En tanto el modelo se observe como general y no como el desarrollo y análisis de un objeto específico, resulta difícil entender la complejidad de la relación y la forma en que se facilita la enseñanza si se analizan las redes conceptuales en casos específicos. Estas redes son modelos particulares del contenido y de formas de procesamiento posibles, con diferentes niveles de complejidad y abstracción, y tienen aplicaciones directas en la enseñanza del contenido desarrollado.
Se ha seleccionado
el tema de porcentajes como se podría haber seleccionado cualquier
otro tema. La red del esquema 5 representa la situación real, la selección
del contenido matemático a partir de ella y la red de análisis
del contenido matemático, incluyendo las estrategias de resolución.
INSERTAR ESQUEMA 5. Red general de porcentajes
El problema planteado requiere de un conocimiento complejo del porcentaje, que en la red de análisis del contenido corresponde al nivel E4 o E5. Al sujeto lo podremos ubicar a partir del análisis de su ejecución y sus respuestas en entrevista.
Hemos entrevistado
a una persona de una comunidad rural, empezando por una pregunta directa
de cálculo, ya que nos ha explicado que 6% es 6 de cada ciento y hemos
observado que sabe realizar operaciones de multiplicación y división:
| Entrevistador | Sujeto. |
| ¿Cuál es el 6% de 300? | (Piensa)
tres...cientos, 3 de 100,
De 6... 18 |
| ¿Cuál es el 6% de 800? | ocho...cientos...Son
8 de 100.
De 6...6 de 8....48 |
| ¿Cuál
es el 6% de 845? ¿Da igual que en 800? ¿Y los 45? |
ocho...cientos...
Son 8 de 100.
De 6...6 de 8....48. Es
igual. Pues sí... (duda) Es que no alcanzan para hacer un cien... |
A partir de esta
entrevista se infiere la red conceptual del sujeto:
INSERTAR ESQUEMA 6. Red conceptual inferida de la entrevista
del sujeto
Podemos observar a partir de la entrevista y su representación en red que la estrategia principal utilizada por el sujeto es la separación en cienes, con soporte en el corte oral de la partícula cientos. Sabe multiplicar y dividir, pero estas operaciones están desvinculadas de la idea del porcentaje que tiene. El concepto de porcentaje a nivel general es correcto. Un tanto de cada ciento, pero está limitado a números separables en cientos, sin sobrante. Es decir, múltiplos de 100. Este concepto corresponde a la estrategia E2 de la red de análisis del contenido.
Al analizar los
procesos del sujeto en relación con el contenido que se aborda podemos
definir en dónde está y hacia adónde queremos dirigirnos.
Es decir, podemos decidir la estrategia de intervención que le permita
avanzar en la comprensión del concepto y de los procedimientos de resolución.
En este caso sería:
• hacer equivalente el reparto en cienes con la división entre 100 (mediante
la comparación de repartos y vinculación con la información previa de la
división)
• realizar un proceso de generalización de manera que se comprenda que
cualquier número puede divirse en cien al utilizar fracciones (relacionándolo
con las divisiones
que sabe realizar con decimales)
Una red integrada
con estas relaciones incluiría el uso de las operaciones de división
y multiplicación, comprendidas como las operaciones de reparto y repetición
que se realizan de una manera más concreta desde el momento en que
se realiza el ejemplo.
5. Comentarios
finales
Mucha de la información
que nos ofrecen las teorías generales cognoscitivas podrá ser
importante y aplicable en la enseñanza de materias específicas
en las escuelas si también se avanza en el análisis del conocimiento
de objetos específicos. El modelo metodológico propuesto nos
ha ayudado a diseñar programas y materiales educativos (libros, foletos
y otros) considerando el contexto de trabajo, las formas de pensamiento de
los alumnos y el contenido matemático en diversos niveles de absracción
y generalidad. El modelo de construcción de lenguaje matemático
nos ha permitido trabajar sistemáticamente a partir de situaciones
concretas, llegando a las formas algebraicas con profesores de secundarias
rurales, a nivel técnico superior y licenciatura. Pensamos que la
propuesta en su conjunto es aplicable a contextos no rurales y tenemos especial
interés en poder desarrollar sitemas de cómputo expertos con
base en este modelo.
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BUTTIN PRIES, Karin et al.
1996 La Generación
de situaciones educativas. Una propuesta pedagógica para el medio rural,
México, CESDER (en prensa).
BUZÁN y BUZÁN
1996 El libro
de los mapas mentales, Barcelona, Urano.
FEUESTEIN, R. et al.
1991 Mediated
Learning Experience (MLE). Theoretical, Psychosocial and Learning Implications,
Inglaterra, Freund Publishing House, International Center for Enhancement
of Learning Potential.
FISHER y FIRSCHEIN
1978 Intelligence:
the Eye, the Brain and the Computer, USA, Addison Wesley.
HIRSCHFELD y GELMAN
1994 Mapping
the Mind. Domain Specificity in Cognition and Culture, USA, Cambridge
University Press.
NOVAK y GOWIN
1984 Learning
how to Learn, USA, Cambridge University Press.
PIAGET, Jean.
1983 Psicología
de la inteligencia, Barcelona, Grijalbo.
PERELMAN, Y.
1978 Aritmética
recreativa, México, Cultura Popular.
1982 Algebra
recreativa, Moscú, MIR.
RESNICK y FORD
1990 La enseñanza
de las matemáticas y sus fundamentos psicológicos, Barcelona,
Paidós.
THORNDIKE, E. L.
